Question

設等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內任意一點，且P到三邊AB、BC、CA的距離分別為d₁、d₂、d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值

3

2

a；由以上平面圖形的特性類比到空間圖形：設正四面體ABCD的棱長為a，P是正四面體ABCD內任意一點，且P到平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，則有h₁+h₂+h₃+h₄為定值

6

3

a

．

Answer 1

分析：通過類比，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積即可．判斷求解h₁+h₂+h₃+h₄的定值．

解答：解：由于等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內的任意一點，且P到三邊AB，BC，CA的距離分別為d₁，d₂，d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值

3

2

a；
證明如下：如圖，△ABC是等邊三角形，點P是等邊三角形內部任一點．
S_△APB=

1

2

a•PE，S_△CPB=

1

2

a•PE，S_△APC=

1

2

a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG，
即

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG=S，
PE+PF+PG=

2S

a

，為定值．
即d₁+d₂+d₃=

2S

a

，為定值．
由線類比為面，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積得到：
有d₁+d₂+d₃+d₄為定值

6

3

a．
故答案為：

6

3

a．

點評：本題考查類比推理，升維類比是一種比較重要的類比方式，要掌握好其類比規(guī)則，對于類比還有一點要注意，那就是類比的結論不一定是正確的．