Question

設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，且P到三邊AB，BC，CA的距離分別為d₁，d₂，d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，P是正四面體ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，且P到四個(gè)面ABC、ABD、ACD、BCD的距離分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則有d₁+d₂+d₃+d₄為定值    ．

Answer 1

【答案】分析：這是一個(gè)升維類比，線類比為面，點(diǎn)到直線的距離類比為點(diǎn)到平面的距離，面積類比為體積即可．
解答：解：由于等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，且P到三邊AB，BC，CA的距離分別為d₁，d₂，d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值；
證明如下：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)部任一點(diǎn)．
S_△APB=a•PE，S_△CPB=a•PE，S_△APC=a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=a•PE+a•PF+a•PG，
即 a•PE+a•PF+a•PG=S，
PE+PF+PG=，為定值．
即d₁+d₂+d₃=，為定值．
由線類比為面，點(diǎn)到直線的距離類比為點(diǎn)到平面的距離，面積類比為體積得到：
有d₁+d₂+d₃+d₄為定值a．
故答案為：a．
點(diǎn)評(píng)：升維類比是一種比較重要的類比方式，要掌握好其類比規(guī)則，對(duì)于類比還有一點(diǎn)要注意，那就是類比的結(jié)論不一定是正確的