已知函數(shù)f(x)=
ax+bx2+1
．
（1）當(dāng)a=0，b=1時，求f（x）的值域；
（2）當(dāng)a＜0，b=0時，判斷并證明f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．
分析：（1）a=0，b=1時，利用x2+1≥1，求出f（x）的值域；
（2）a＜0，b=0時，用單調(diào)性定義判定并證明f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
解答：解：（1）∵a=0，b=1時，
f(x)=
1
x2+1
，
∵x2+1≥1，
∴
1
x2+1
≤1，
∴f（x）的值域為（0，1]；
（2）a＜0，b=0時，f(x)=
ax
x2+1
在（1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：設(shè)1＜x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=
ax1
x12+1
-
ax2
x22+1

=
ax1(x22+1)-ax2(x12+1)
(x12+1)(x22+1)
=
a(x1x22+x1-x12x2-x2)
(x12+1)(x22+1)
=
a(x2-x1)(x1x2-1)
(x12+1)(x22+1)
，
∵a＜0，x2-x1＞0，x1x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明問題，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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