Question

如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，若

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)M（-1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）記直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）若線段AB上點(diǎn)R滿足

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，求證：RF⊥MF．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（-1，y），利用數(shù)量積

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：即可．
（2）（Ⅰ）由題意直線m斜率存在且不為0，設(shè)直線m：y=k（x+1）與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和斜率計(jì)算公式即可得出k₁+k₂．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)R（x，y），利用

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，即可得出x，進(jìn)而即可證明RF⊥MF．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（-1，y），
由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化簡(jiǎn)得C：y²=4x．
（2）（Ⅰ）由題意直線m斜率存在且不為0，
設(shè)直線m：y=k（x+1）與拋物線方程聯(lián)立

y=k(x+1) y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵

k≠0 △＞0

，∴-1＜k＜1且k≠0．
設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)則x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1．
∴k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1+1)

x1-1

+

k(x2+1)

x2-1

=k(2+

2(x1+x2)-4

x1x2+1-(x1+x2)

)=0．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)R（x，y），∵

|MA|

|MB|

=

|RA|

|RB|

，∴

x1+1

x-x1

=

x2+1

x2-x

，化為x=

2x1x2+x1+x2

x1+x2+2

=

2+x1+x2

x1+x2+2

=1．
∴R（1，y_R），而F（1，0），∴

RF

•

MF

=（0，-y_R）•（2，0）=0．
∴RF⊥MF．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、斜率計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．