Question

（2006•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點F（1，0），點M在x軸上，點N在y軸上，且

NM

•

NF

=0，點R滿足

NM

+

NR

=

0

．
（1）求動點R的軌跡C的方程；
（2）過B（4，0）作直線l交軌跡C于P、Q兩點，求

OP

•

OQ

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知，N是MR的中點，設R（x，y），則M（-x，0），N(0，

y

2

)，由

NM

•

NF

=0可得x，y的方程；
（2）分兩種情況進行討論：①若直線l垂直于軸，易求；②當直線l不垂直于x軸時，設l的方程為y=k（x-4），與拋物線方程聯(lián)立方程組并消掉x可得y的二次方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由韋達定理及數(shù)量積運算可求得結果；

解答：解：（1）由已知，N是MR的中點，設R（x，y），則M（-x，0），N(0，

y

2

)，
∴

NM

={-x，-

y

2

}，

NF

={1，-

y

2

}，
由

NM

•

NF

=0，得-x+

y2

4

=0，即y²=4x，
∴動點R的軌跡方程為y²=4x；
（2）①若直線l垂直于軸，則的方程為x=4，則P（4，4），Q（4，-4），

OP

•

OQ

=0；
②當直線l不垂直于x軸時，設l的方程為y=k（x-4），
由

y=k(x-4) y2=4x

，得ky²-4y-16k=0，
當k≠0時，直線l與拋物線總有兩個交點．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-16，
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

(y1y2)2

16

+y1y2=16-16=0，
綜上，

OP

•

OQ

=0；

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、向量與圓錐曲線的綜合，考查學生分析解決問題的能力．