Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過定點的直線交橢圓于不同的兩點，連接并延長交橢圓于點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）依題意，由點到直線的距離可求得，再根據(jù)離心率為，可求得，進而得到橢圓方程；

（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，然后運用韋達定理，再化簡得，即可得出結(jié)論．

（1）依題意，可設(shè)圓的方程為，

∵圓與直線相切，

∴，

∴，

由解得，

∴橢圓的方程為；

（2）證明：依題意，可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

代入中，整理得，，

∵直線與橢圓有兩個不同的交點，

∴，即，

設(shè)，則，，

∵，

∴

.

即為定值.