【題目】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當(dāng)x1 , x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有 .給出下列命題: ①f(3)=0;
②直線x=﹣6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[﹣9,﹣6]上為增函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在[﹣9,9]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為(把所有正確命題的序號(hào)都填上)
【答案】①②④
【解析】解:①:對(duì)于任意x∈R,都有f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令x=﹣3,則f(﹣3+6)=f(﹣3)+f (3),又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(3)=0. ②:由(1)知f (x+6)=f (x),所以f(x)的周期為6,
又因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x+6)=f(﹣x),
而f(x)的周期為6,所以f(x+6)=f(﹣6+x),f(﹣x)=f(﹣x﹣6),
所以:f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x),所以直線x=﹣6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸.
③:當(dāng)x1 , x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有
所以函數(shù)y=f(x)在[0,3]上為增函數(shù),
因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)在[﹣3,0]上為減函數(shù)
而f(x)的周期為6,所以函數(shù)y=f(x)在[﹣9,﹣6]上為減函數(shù).
④:f(3)=0,f(x)的周期為6,
所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0
函數(shù)y=f(x)在[﹣9,9]上有四個(gè)零點(diǎn).
所以答案是:①②④.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即:方程有實(shí)數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn),函數(shù)有零點(diǎn)才能正確解答此題.
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【題目】下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是( )
A.y=log2x
B.y=x﹣
C.y=﹣x3
D.y=tanx
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)= ,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=2x , 則f(log29)等于 .
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【題目】函數(shù)f(x)= +lg(1+3x)的定義域是( )
A.(﹣∞,﹣ )?
B.(﹣ , )∪( ,+∞)?
C.( ,+∞)?
D.( , )∪( ,+∞)
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【題目】已知函數(shù) ,把方程f(x)=x的根按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )
A. (n∈N*)
B.an=n(n﹣1)(n∈N*)
C.an=n﹣1(n∈N*)
D.an=2n﹣2(n∈N*)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x2﹣3ax)對(duì)任意的x1 , x2∈[ ,+∞),x1≠x2時(shí)都滿足 <0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(0, ]
C.(0, )
D.( , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,E是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),E在面ABCD上的正投影F恰在AC上,F(xiàn)G∥BC,AB=AE=2,∠EAB=60°,有以下四個(gè)命題:
(1)CD⊥面GEF;
(2)AG=1;
(3)以AC,AE作為鄰邊的平行四邊形面積是8;
(4)∠EAD=60°.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , ,其中a>0,且a≠1.
(1)若0<a<1,求滿足不等式f(x)<1的x的取值的集合;
(2)求關(guān)于x的不等式f(x)≥g(x)的解的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2為雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F2作雙曲線漸近線的垂線,垂足為P,若|PF1|2﹣|PF2|2=c2 . 則雙曲線離心率的值為
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