【題目】如圖,在四棱錐中,平面,△為等邊三角形,,,,分別為棱,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值,若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)存在,
【解析】
(1)證明和即可證明
(2)取的中點(diǎn),連結(jié),得,以為原點(diǎn),以所在直線分別為軸如圖建系,求得兩平面的法向量,利用二面角向量公式求解
(3)假設(shè)棱上存在點(diǎn),使得平面,且設(shè),求得平面的法向量,利用得
(1)因?yàn)?/span>平面,平面,平面,所以,.
又因?yàn)椤?/span>為等邊三角形,為的中點(diǎn),所以.,
所以平面.
(2)取的中點(diǎn),連結(jié),則易知,,.因?yàn)椤?/span>為等邊三角形,所以.
以為原點(diǎn),以所在直線分別為軸如圖建系,
,,,
設(shè)平面的法向量,則:,即,
令,得平面的一個(gè)法向量,易知平面的一個(gè)法向量為
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
(3)假設(shè)棱上存在點(diǎn),使得平面,且設(shè),則,
,則,
,要使得平面,則,得,
所以線段上存在點(diǎn),使得平面,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).設(shè)置了四個(gè)箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張,按照自己的判斷,將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯(cuò)誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人,將他們的得分按照,,,,分組,繪成頻率分布直方圖如圖:
(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);
(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手,以表示這名選手中得分不超過(guò)分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3) 如果某選手將抽到的20張卡片逐一隨機(jī)放入四個(gè)箱子,能否認(rèn)為該選手不會(huì)得到100分?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是( )
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江。
B.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).
C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)
D.去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,四點(diǎn),,,,恰有三點(diǎn)在橢圓上.
(1)求的方程;
(2)設(shè)、為橢圓在左、右焦點(diǎn),是橢圓在第一象限上一點(diǎn),滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù),如果存在區(qū)間,其中,同時(shí)滿足:
①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù):②當(dāng)定義域?yàn)?/span>時(shí),的值域?yàn)?/span>,則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”,區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.
(1)求證:函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”;
(2)若函數(shù)()是區(qū)間上的“保值函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)對(duì)(2)中函數(shù),若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)和.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若在上有解,求的最小值;
(3)記,,是否存在正數(shù),使得對(duì)一切均成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2018屆安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】一家大型購(gòu)物商場(chǎng)委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該商場(chǎng)的顧客使用移動(dòng)支付的情況.調(diào)查人員從年齡在內(nèi)的顧客中,隨機(jī)抽取了180人,調(diào)查結(jié)果如表:
(1)為推廣移動(dòng)支付,商場(chǎng)準(zhǔn)備對(duì)使用移動(dòng)支付的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該商場(chǎng)預(yù)計(jì)有12000人購(gòu)物,試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì),該商場(chǎng)當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋?
(2)某機(jī)構(gòu)從被調(diào)查的使用移動(dòng)支付的顧客中,按分層抽樣的方式抽取7人作跟蹤調(diào)查,并給其中2人贈(zèng)送額外禮品,求獲得額外禮品的2人年齡都在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),它與曲線
C:(y-2)2-x2=1交于A、B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的長(zhǎng);
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的組合體中,三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面,是圓柱底面圓周上不與重合的一個(gè)點(diǎn).
(1)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí),求異面直線與的所成角的大。
(2)當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí),求四棱錐與圓柱的體積比.
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