【題目】在直角坐標系xOy中,直線l過點且傾斜角為.以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為,l與C交于M,N兩點.
(1)求C的直角坐標方程和的取值范圍;
(2)求MN中點H的軌跡的參數(shù)方程.
【答案】(1);或(2)(為參數(shù),且或).
【解析】
(1)直接利用轉換關系的應用,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.
(2)利用直線的垂直的充要條件的應用求出結果.
解:(1)C的直角坐標方程為,
即,是以原點為圓心的單位圓
當時,顯然直線l與曲線C相離,不合題意.
∴,所以直線l的斜率存在.
∴直線l的方程可寫為
∵直線l與曲線C交于M,N兩點,
∴圓心O到直線l的距離,
解得
∴或.
(2)(法一)直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù),或)
設M,N,H對應的參數(shù)分別為,,,則,
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程得:
∴,∴,
又點H的坐標滿足,
(t為參數(shù),或)
∴點H的軌跡的參數(shù)方程為
即(為參數(shù),或)
(法二)
設點,則由可知,
當時有
即,整理得
當時,點H與原點重合,也滿足上式.
∴點H的軌跡的參數(shù)方程為
(為參數(shù),且或).
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【題目】已知函數(shù)和函數(shù),關于這兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù),下列四個結論:①當時,兩個函數(shù)圖像沒有交點;②當時,兩個函數(shù)圖像恰有三個交點;③當時,兩個函數(shù)圖像恰有兩個交點;④當時,兩個函數(shù)圖像恰有四個交點.正確結論的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,三棱錐中,底面是邊長為2的正三角形,,底面,點分別為,的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成的角的余弦值為?若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】實現(xiàn)國家富強.民族復興.人民幸福是“中國夢”的本質(zhì)內(nèi)涵.某商家計劃以“全民健身促健康,同心共筑中國夢”為主題舉辦一次有獎消費活動,此商家先把某品牌乒乓球重新包裝,包裝時在每個乒乓球上印上“中”“國”“夢”三個字樣中的一個,之后隨機裝盒(1盒4個球),并規(guī)定:若顧客購買的一盒球印的是同一個字,則此顧客獲得一等獎;若顧客購買的一盒球集齊了“中”“國”二字且僅有此二字,則此顧客獲得二等獎;若顧客購買的一盒球集齊了“中”“國”“夢”三個字,則此顧客獲得三等獎,其它情況不設獎,則顧客購買一盒乒乓球獲獎的概率是_____________.
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【題目】以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線的參數(shù)方程為,曲線的極坐標方程為
求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
若把曲線上給點的橫坐標伸長為原來的倍,縱坐標伸長為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最大值.
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【題目】某家政公司對部分員工的服務進行民意調(diào)查,調(diào)查按各項服務標準進行量化評分,嬰幼兒保姆部對40~50歲和20~30歲各20名女保姆的調(diào)查結果如下:
分數(shù) 年齡 | |||||
40~50歲 | 0 | 2 | 4 | 7 | 7 |
20~30歲 | 3 | 5 | 5 | 5 | 2 |
(1)若規(guī)定評分不低于80分為優(yōu)秀保姆,試分別估計這兩個年齡段保姆的優(yōu)秀率;
(2)按照大于或等于80分為優(yōu)秀保姆,80分以下為非優(yōu)秀保姆統(tǒng)計.作出列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為對保姆工作質(zhì)量的評價是否優(yōu)秀與年齡有關.
(3)從所有成績在70分以上的人中按年齡利用分層抽樣抽取10名保姆,再從這10人中選取3人給大家作經(jīng)驗報告,設抽到40~50歲的保姆的人數(shù)為,求出的分布列與期望值.
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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【題目】我國是世界第一產(chǎn)糧大國,我國糧食產(chǎn)量很高,整體很安全按照14億人口計算,中國人均糧食產(chǎn)量約為950斤﹣比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中2010﹣2019年,我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總人口(千萬人)的條形圖,根據(jù)如圖可知在2010﹣2019年中( )
A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總人口均逐年遞增
B.2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大
C.2015年﹣2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定
D.2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,極點為,一條封閉的曲線由四段曲線組成:,,,.
(1)求該封閉曲線所圍成的圖形面積;
(2)若直線:與曲線恰有3個公共點,求的值.
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