【題目】已知拋物線上兩點、,焦點滿足,線段的垂直平分線過.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點作直線,使得拋物線上恰有三個點到直線的距離都為,求直線的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由,結(jié)合拋物線的定義得出,再由中垂線的性質(zhì)得出,利用兩點間的距離公式得出,可求出實數(shù)的值,由此可得出拋物線的方程;
(2)設(shè)直線的方程為,將直線平移且使得平移后的直線與直線之間的距離等于,可得出直線,,可知直線或與拋物線相切,并與拋物線的方程聯(lián)立,利用求出實數(shù)的值,即可得出直線的方程.
(1)由拋物線的定義可得,①
由于線段的垂直平分線過,則,
即,即,
,,
,,②
由①②得,因此,拋物線的方程為;
(2)設(shè)直線的方程為,將直線平移且使得平移后的直線與直線之間的距離等于,設(shè)平移后的直線方程為,由平行線間的距離公式可得,
得,得直線,,
可知直線或與拋物線相切,
若直線與拋物線相切,則,得,
,此方程無解;
若直線與拋物線相切,則,得,
,得,解得,
因此,直線的方程為或.
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【題目】已兩動圓和,把它們的公共點的軌跡記為曲線,若曲線與軸的正半軸交點為,且曲線上異于點的相異兩點、滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)證明直線恒經(jīng)過一定點,并求出此定點的坐標(biāo).
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【題目】某商場為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯(lián)表:
滿意 | 不滿意 | |
男顧客 | 40 | 10 |
女顧客 | 30 | 20 |
(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;
(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?
附:.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點);
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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【題目】已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,.
(1)求的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.
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【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機(jī)抽取5個,再從這5個中隨機(jī)抽取2個,求這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間的概率;
(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表,用樣本估計總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個,經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收購;
方案②:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,對質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個收購.
通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.
參考數(shù)據(jù):.
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【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意均有 求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
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