【題目】已知函數(shù)f(x)=x+2﹣2cosx
(1)求函數(shù)f(x)在[,]上的最值:
(2)若存在x∈(0,)使不等式f(x)≤ax成立,求實數(shù)a的取值范圍
【答案】(1)f(x)min=2,f(x)max=2;(2)(1,+∞).
【解析】
(1)求導(dǎo)后分析導(dǎo)數(shù)的正負再求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.
(2)設(shè),再代入,求導(dǎo)得的值域為,再根據(jù)的范圍進行討論,分析的最大值即可.
(1)f'(x)=1+2sinx,
當(dāng)x時,由f'(x)<0得,,由f'(x)>0得,,
∴函數(shù)f(x)在[,)上單調(diào)遞減,在(,]上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f()=2,f(x)max=f()=2;
(2)存在x∈(0,)使不等式f(x)≤ax成立,即x+2﹣2cosx<ax成立,
設(shè)g(x)=f(x)﹣ax=x+2﹣2cosx﹣ax,則g(0)=0,g'(x)=1+2sinx﹣a,
當(dāng)x∈(0,)時,1+2sinx∈(1,3),所以g'(x)∈(1﹣a,3﹣a),
由于1﹣a≥0即a≤1時,g'(x)>0,則g(x)>g(0)=0,即f(x)>ax恒成立,不滿足題意,
故1﹣a<0,即a>1,此時g'(0)=1﹣a<0,
因為g'(x)=1+2sinx﹣a在(0,)上單調(diào)遞增,
所以存在區(qū)間(0,t)(0,),使x∈(0,t)時,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,t)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x∈(0,t)時,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,
所以實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).
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【題目】已知函數(shù)().
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1,求實數(shù)的值.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的的值為4時,輸出的的值為2,則空白判斷框中的條件可能為( ).
A. B.
C. D.
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【題目】(題文)已知橢圓的離心率為,過點的直線交橢圓與兩點,,且當(dāng)直線垂直于軸時,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,求弦長的取值范圍.
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【題目】如圖,垂直圓O所在的平面,是圓O的一條直徑,C為圓周上異于A,B的動點,D為弦的中點,.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M為棱A1B1的中點,則異面直線AM與BD所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圖:的右頂點與拋物線:的焦點重合,橢圓的離心率為,過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)過點的直線與橢圓交于,兩點,點關(guān)于軸的對稱點為.當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)時,直線是否經(jīng)過一定點?請判斷并證明你的結(jié)論.
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【題目】在邊長為1的正方體中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點,點P從G出發(fā),沿折線GBCH勻速運動,點Q從H出發(fā),沿折線HDAG勻速運動,且點P與點Q運動的速度相等,記E,F,P,Q四點為頂點的三棱錐的體積為V,點P運動的路程為x,在0≤x≤2時,V與x的圖象應(yīng)為( )
A.B.
C.D.
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