【題目】如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)安裝排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線排，在路南側(cè)沿直線排，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知，，公路兩側(cè)排水管費用為每米1萬元，穿過公路的部分的排水管費用為每米2萬元，設(shè)與所成的小于的角為.

（Ⅰ）求矩形區(qū)域內(nèi)的排水管費用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；

（Ⅱ）求排水管的最小費用及相應(yīng)的角.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）最小費用為萬元，相應(yīng)的角為.

【解析】

（Ⅰ）過作,垂足為,由題意得,利用三角函數(shù)的定義分別表示,的長度,進而求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,設(shè),要求的最小值,可先求的最大值,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,進而求解.

解:（Ⅰ）如圖,

過作,垂足為,由題意得,

故有,,,

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè),

則,

令,得,即,得,

∴當時,,為增函數(shù)；

當時,,為減函數(shù),

∴當時,有,此時.

答:排管的最小費用為萬元,相應(yīng)的角為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“微信運動”已成為當下熱門的運動方式，小王的微信朋友內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：

性別

步數(shù)

0～2000

2001～5000

5001～8000

8001～10000

＞10000

男

1

2

3

6

8

女

0

2

10

6

2

（1）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)？

積極型

懈怠型

總計

男

女

總計

（2）若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布，現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人，其中每日走路不超過5000步的有X人，超過10000步的有Y人，設(shè)ξ＝|X﹣Y|，求E的分布列及數(shù)學(xué)期望．

附：K2，n＝a+b+c+d．

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某氣象站統(tǒng)計了4月份甲、乙兩地的天氣溫度（單位），統(tǒng)計數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，

（1）根據(jù)所給莖葉圖利用平均值和方差的知識分析甲，乙兩地氣溫的穩(wěn)定性；

（2）氣象主管部門要從甲、乙兩地各隨機抽取一天的天氣溫度，若甲、乙兩地的溫度之和大于或等于，則被稱為“甲、乙兩地往來溫度適宜天氣”，求“甲、乙兩地往來溫度適宜天氣”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點到漸近線的距離為.

(1)求此雙曲線的方程；

(2)設(shè)P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018湖南（長郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué)）、江西（九江一中）等十四校高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)（其中且為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ）．

（Ⅰ）若函數(shù)的極值點只有一個，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當時，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點對稱．

（1）求和的標準方程；

（2）過點的直線與交于，與交于，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓的圓心為，直線l過點且與x軸不重合，l交圓于C，D兩點，過作的平行線，交于點E.設(shè)點E的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）直線與相切于點M，與兩坐標軸的交點為A與B，直線經(jīng)過點M且與垂直，與的另一個交點為N，當取得最小值時，求的面積.

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