Question

【題目】如圖1，在四邊形中，，，，，，是上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，使得，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）計(jì)算出、、的長(zhǎng)，利用勾股定理證明出，，利用線面垂直的判定定理可證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法結(jié)合線面角的正弦值可求得的值，然后利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）因?yàn)?/span>，，所以.

又，所以，．

在中，，，，，所以．

在中，，，，所以，所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，，所以平面．

又平面，所以平面平面；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則、、，設(shè)，其中，

則，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，

令，則，，所以，

所以，

化簡(jiǎn)得，解得或（舍），

所以，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，

令，則，，所以，

所以．

由圖可知二面角為銳二面角，

所以當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，二面角的余弦值為．