Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）求的定義域，導(dǎo)數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求出的單調(diào)性. （2）函數(shù)的圖象上點與函數(shù)的圖象上點處切線相同，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率建立關(guān)系式，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間以及最值，運用單調(diào)性計算可求出的范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，

.

，

所以當(dāng)即時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即或時，

方程的根為，.

當(dāng)時，有，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，有.

	+	-	+
	增	減	增

綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）設(shè)函數(shù)的圖象上點與函數(shù)的圖象上點處切線相同，

則，

即，

由得 ①

由，

得 ②

由①②得：，

設(shè)

問題轉(zhuǎn)化為在有解，

則，

不妨設(shè)，

則當(dāng)時，，當(dāng)時，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴是的最小值.

只需，即 ③

而，故代入③式，得

，

令，易得，

，則在遞增.

故的解集是（0，1]，即.

由，得.

即實數(shù)的取值范圍是.