【題目】已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：

①對任意的，總有；

②；

③若，且，則有成立，則稱為“友誼函數(shù)”．

（）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值．

（）分別判斷函數(shù)與在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”，并給出理由．

（）已知為“友誼函數(shù)”，且，求證：．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（）成立，令，，即，再根據(jù)對任意的，總有，得到，即得．（2）利用“友誼函數(shù)”的定義證明滿足條件①②③，在區(qū)間上不滿足②，即得為友誼函數(shù)，不是友誼函數(shù)．（3）利用證明．

（）已知為友誼函數(shù)，則當，且，

有成立，

令，，

則，即，

又∵對任意的，總有，

∴，

∴．

（）顯然，在上滿足①，②，

若，，且，

則有，

故，

∴滿足條件①②③，

∴為友誼函數(shù)，

在區(qū)間上滿足①，

∵，

∴在區(qū)間上不滿足②，

故不是友誼函數(shù)．

（）證明：∵，則，

∴，

即．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，現(xiàn)準備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關．若建造宿舍的所有費用（萬元）和宿舍與工廠的距離的關系為： ．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條簡易便道，已知修路每公里成本為萬元，工廠一次性補貼職工交通費萬元.設為建造宿舍、修路費用與給職工的補貼之和．

⑴求的表達式；

⑵宿舍應建在離工廠多遠處，可使總費用最小，并求最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】海關對同時從三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示，工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件進行檢測．

地區(qū)




數(shù)量

50

150

100

（1）求這6件樣品中來自各地區(qū)商品的數(shù)量；

（2）若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移 個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（ ）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，A1A=AB=6，D為AC中點．

（1）求三棱錐C1﹣BCD的體積；

（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（3）求證：直線AB1∥平面BC1D．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2 ， 體積是cm3 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求整數(shù)的值，使函數(shù)在區(qū)間上有零點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，證明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某設備的使用年數(shù)x與所支出的維修總費用y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

使用年數(shù)x（單位：年）

2

3

4

5

6

維修費用y（單位：萬元）

1.5

4.5

5.5

6.5

7.0

根據(jù)上標可得回歸直線方程為 =1.3x+ ，若該設備維修總費用超過12萬元，據(jù)此模型預測該設備最多可使用年．

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