Question

（本小題滿分12分）
在如圖所示的幾何體中，平面，∥，是的中點(diǎn)，
，，．
（Ⅰ）證明平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

圖7

Answer 1

略

解法一（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)、．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140751650228.gif" style="vertical-align:middle;" />∥，∥，所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140752898254.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以．
所以四邊形是平行四邊形，∥．                   ……分
在等腰中，是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140753725344.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以．
而，所以平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140753350227.gif" style="vertical-align:middle;" />∥，所以平面．                      ……分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140751821248.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面平面．
過(guò)點(diǎn)作于，則平面，所以．
過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)，則平面，所以．
所以是二面角的平面角．                                     ……分
在中，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140755066557.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以是等邊三角形．又，所以
，．
在中，．
所以二面角的余弦值是．                                             ……分

解法二  （Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140753725344.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，∥，所以平面．
故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，
，，．        ……分                   
所以，，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140755768789.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，．而，所以平面．……分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得
即．取，則．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得
即．取，，則．
……分
設(shè)二面角的大小為，則
．                             
故二面角的余弦值是．      ……分