Question

已知冪函數Y=f（x）的圖象過點（3，

1

3

），
（1）試求出此函數的解析式；
（2）寫出此函數的單調區(qū)間；
（3）證明此函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調減函數．

Answer 1

分析：（1）設出冪函數的解析式，將已知點的坐標代入，求出冪函數的解析式；
（2）由于冪指數小于0，求出單調區(qū)間．
（3）判斷函數的單調性可以通過定義做，先取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據定義進行判定即可．

解答：解：（1）設冪函數f（x）=x^a，
則3^a=

1

3

，解得a=-1
∴f（x）=x^-1；
（2）∴f（x）=x^-1的單調遞減區(qū)間是（0，+∞），（-∞，0）．
（3）取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，那么 f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=-

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x）在（0，+∞）內是減函數．

點評：本題主要考查了通過待定系數法求冪函數的解析式、考查冪函數的性質取決于冪指數的范圍，考查函數的單調性及不等式的基礎知識，考查數學推理判斷能力，屬于基礎題．