Question

已知冪函數(shù)y=f（x）經(jīng)過點(diǎn)(2，

1

2

)，
（1）試求函數(shù)解析式；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）試解關(guān)于x的不等式f（3x+2）+f（2x-4）＞0．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=a^x，代入(2，

1

2

)可得a值，從而得到冪函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出定義域，在考查f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義作出判斷．
（3）將不等式化為f（3x+2）＞f（4-2x），分3x+2與2x-4都是正數(shù)、都是負(fù)數(shù)、異號(hào)三種情況，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值范圍列出不等式組，最后把各個(gè)不等式組的解集取并集．

解答：解：（1）設(shè)y=a^x，代入(2，

1

2

)，
得a=-1，∴y=

1

x

，x≠0．
（2）定義域（-∞，0）∪（0，+∞），又  f(-x)=-

1

x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
單調(diào)區(qū)間（-∞，0），（0，+∞）
（3）由f（3x+2）+f（2x-4）＞0得 f（3x+2）＞-f（2x-4），
即 f（3x+2）＞f（4-2x），
①當(dāng)3x+2＞0，4-2x＞0時(shí)，

3x+2＞0 4-2x＞0 3x+2＜4-2x

∴-

2

3

＜x＜

2

5

，
②當(dāng)3x+2＜0，4-2x＜0時(shí)，

3x+2＜0 4-2x＜0 3x+2＜4-2x

，x無解，
③當(dāng)3x+2與4-2x異號(hào)時(shí)，

3x+2＞0 4-2x＜0

，x＞2，
綜上所述，-

2

3

＜x＜

2

5

或x＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、奇偶性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、定義域，以及利用單調(diào)性、奇偶性解不等式．