Question

在△ABC中，AB=4，AC=2，S_△ABC=2

3

．
（1）求△ABC外接圓的面積．
（ 2）求cos（2B+

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用面積公式，求出sinA，利用余弦定理，求出a，進而根據(jù)正弦定理，即可求得結(jié)論；
（2）先求B，再利用和角的余弦公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵AB=4，AC=2，S_△ABC=2

3

∴

1

2

×4×2×sinA=2

3

∴

3

2

∴cosA=±

1

2

∴a²=4²+2²-2×4×2×（±

1

2

）
∴a=2

7

或a=2

3

設△ABC外接圓的半徑為R，則2R=

a

sinA

=

4 21

3

或4
∴△ABC外接圓的面積為

84

9

π或4π；
（2）2R=

2

sinB

，∴sinB=

3 21

42

或

1

2

∴cosB=

154

14

或B=

π

6

∴cosB=

154

14

時，cos（2B+

π

3

）=

1

2

cos2B-

3

2

sin2B=

7

14

-

9 11

168

B=

π

6

時，cos（2B+

π

3

）=-

1

2

．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．