【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值；

（Ⅲ）求證：存在唯一的，使得.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）6;（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率，寫出切線方程；（Ⅱ）寫出函數(shù)在區(qū)間上導數(shù)的變化情況，列表求最值即可；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)=，只需證明函數(shù)有唯一零點即可.

試題解析：（Ⅰ）由，得 ,

所以，又

所以曲線在點處的切線方程為： ，即： .

（Ⅱ）令，得.

與在區(qū)間的情況如下：

-

0

+

極小值

因為 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6.

（Ⅲ）證明：設(shè)=，

則，

令，得.

與隨x的變化情況如下：

1

0

0

極大值

極小值

則的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.

又， ，所以函數(shù)在沒有零點，又，

所以函數(shù)在上有唯一零點.

綜上，在上存在唯一的，使得.

練習冊系列答案
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