Question

設(shè)A={x∈R||2x-x²|≤x}，B={x∈R||

x

1-x

|≤

x

1-x

}，C={x∈R|ax²+x+b＜0}，若（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，求a，b的值．

Answer 1

分析：分別求出兩個(gè)集合中的不等式的解集，然后求出A與B的并集，根據(jù)（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，得到集合C其實(shí)為A∪B在R上的補(bǔ)集，即可得到集合C，即得到ax²+x+b=0的兩個(gè)根為0和3，根據(jù)韋達(dá)定理列出方程求出a，b的值即可．

解答：解：|2x-x²|≤x，當(dāng)x=0時(shí)顯然成立；
x≠0化簡(jiǎn)得

2x-x2＞0 2x-x2≤x

或

2x-x2≤0 x2-2x≤x

，
解得1≤x＜2或2≤x≤3，
所以A={x|1≤x≤3}∪{0}；
根據(jù)|

x

1-x

|≤

x

1-x

，得到

x

1-x

≥0，
解得x≥0且1-x＞0或x≤0且1-x＜0，
解得0≤x＜1或無(wú)解，則B={x|0≤x＜1}，
則A∪B={x|0≤x≤3}
∵（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，
∴C={x|x＜0或x＞3}
∴0，3是方程ax²+x+b=0的兩根，
由韋達(dá)定理：

0+3=- 1 a 0×3= b a a≠0

解得a=-

1

3

，b=0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行并集、交集的運(yùn)算，會(huì)根據(jù)條件進(jìn)行推理，會(huì)求絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解集，以及靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．是一道中檔題．