Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，.

（Ⅰ）若（點(diǎn)在第一象限），求直線的方程；

（Ⅱ）求證：為定值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的方程知焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為。設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限所以且。由拋物線的定義可知等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，即，可得，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)。由點(diǎn)和點(diǎn)可求直線的方程。（Ⅱ）可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設(shè)直線方程為，與拋物線聯(lián)立方程，消去整理可得關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�(gè)交點(diǎn)即方程有兩根，所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。用向量數(shù)量積公式求即可得證。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）設(shè)，由題意，且.

點(diǎn)在拋物線上，且，

點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

，. 2分

又，，

.

.

， 4分

直線的方程為，即. 5分

（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：.

由得，即. 7分

顯然恒成立.

設(shè)，，則 9分

.

即為定值. 11分

考點(diǎn)：1拋物線的定義；2直線方程；3直線與拋物線的位置關(guān)系；4向量的數(shù)量積.