Question

已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，當(dāng)時，試比較與2的大小；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，（），求k的取值范圍，并證明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（Ⅱ）；

（Ⅲ）實(shí)數(shù)k的取值范圍是；證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)其符號即可得其單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，，通過導(dǎo)數(shù)可得其范圍，從而得出與2的大��；（Ⅲ）函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數(shù)圖象特征，結(jié)合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

結(jié)合圖象可知，函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，滿足.

，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？

由，得，利用這個關(guān)系式便可將換掉而只留：

，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問題得證.

試題解析：（Ⅰ）由可知，當(dāng)時，由于，，

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)． 3分

（Ⅱ）當(dāng)時，，則，  4分

令，，

由于，故，于是在為增函數(shù)， 6分

所以，即在恒成立，

從而在為增函數(shù)，故． 8分

（Ⅲ）函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，則，是的兩個根，

即方程有兩個根，設(shè)，則，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減且．

要使有兩個根，只需．

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是． 10分

又由上可知函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，滿足， 11分

由，得，

∴，

由于，故，

所以．                             14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等關(guān)系.