已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，（），求k的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

 

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（Ⅱ）k的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入求導，根據(jù)其符號即可得其單調(diào)性；（Ⅱ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數(shù)圖象特征，結(jié)合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

（Ⅲ）結(jié)合圖象可知，函數(shù)的兩個極值點，滿足.

，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？

由，得，利用這個關系式便可將換掉而只留：

，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問題得證.

試題解析：（Ⅰ）若，，則，

當時，，

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)． 4分

（Ⅱ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，

即方程有兩個根，設，則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減且．

要使有兩個根，只需，

故實數(shù)k的取值范圍是． 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數(shù)的兩個極值點，滿足， 10分

由，得，

所以，

由于，故，

所以． 14分

考點：1、導數(shù)的應用；2、不等關系.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設a=-1，g(x)=-
lnx
x
，求證：當x∈（0，e]時，f(x)＜g(x)+
1
2
恒成立；
（3）是否存在負數(shù)a，使得當x∈（0，e]時，f（x）的最大值是-3？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由．
理科選修．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=e-x（x-1），給出以下命題：
①當x＜0時，f（x）=ex（x+1）；        
②函數(shù)f（x）有五個零點；
③若關于x的方程f（x）=m有解，則實數(shù)m的取值范圍是f（-2）≤m≤f（2）；
④對?x1，x2∈R，|f（x2）-f（x1）|＜2恒成立．
其中，正確命題的序號是
①④
①④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•汕頭二模）已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=ax+lnx，其中常數(shù)a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）f′（x）函數(shù)f（x）的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)x0∈（1，e），使得對任意實數(shù)a，都有f′(x0)=
f(e)-f(1)e-1
成立？若存在，請求出x0的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年四川資陽高中高三上學期第二次診斷考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，當時，試比較與2的大��；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點，（），求k的取值范圍，并證明．

 

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