Question

定義：離心率e=

5 -1

2

的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)為F（c，0），p為橢圓E上任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a、b、c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）若E為黃金橢圓；問：是否存在過點(diǎn)F，P的直線l；使l與y軸的交點(diǎn)R滿足

RP

=-2

PF

；若存在，求直線l的斜率K；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)E為黃金橢圓，則e=

c

a

=

5 -1

2

，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可推斷a、b、c成等比數(shù)列，與已知矛盾，故原命題成立．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），進(jìn)而可表示出R的坐標(biāo)根據(jù)及

RP

=-2

PF

，進(jìn)而表示出P的坐標(biāo)，把P點(diǎn)代入橢圓的方程整理后可解得k存在，求出k．

解答：解：（1）證明：假設(shè)E為黃金橢圓，則e=

c

a

=

5 -1

2

，即c=

5 -1

2

a
∴b2=a2-c2=a2-(

5 -1

2

a)2=

5 -1

2

a2=ac
即a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾
故原命題成立．
（2）依題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-c）
令x=0，有y=-kc，即R（0，-kc）
點(diǎn)F（c，0），設(shè)P（x，y）
則

RP

=(x，y+kc)，

PF

=(c-x，-y)
∵

RP

=-2

PF

∴x=2（c-x）
即p（2c，kc）
y+kc=2y
∵P在橢圓上∴

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1
又b²=ac∴4e²+k²e=1
故k2=

1-4e2

e

＜0，與k²≥0矛盾
所以，滿足題意的直線不存在．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，注意尋找黃金雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系，利用橢圓的性質(zhì)求解，屬中檔題．