21.如圖，P－ABC是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱PA、PB、PC上的點(diǎn)，截面DEF∥底面ABC，且棱臺(tái)DEF－ABC與棱錐P－ABC的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)

(1)證明：P－ABC為正四面體；

(2)若PD=PA，求二面角D－BC－A的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(3)設(shè)棱臺(tái)DEF－ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的平行六面體，使得它與棱臺(tái)DEF－ABC有相同的棱長(zhǎng)和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21. [證明] (1)∵棱錐P－ABC與棱臺(tái)DEF－ABC的棱長(zhǎng)和相等，

∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.

又∵截面DEF∥底面ABC，

∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,

∴P－ABC為正四面體.

[解](2)取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM.

∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，

則∠DMA為二面角D－BC－A的平面角.

由(1)知，P－ABC的各棱長(zhǎng)均為1，

∴PM=AM=.由D是PA的中點(diǎn)，得sinDMA==,

∴∠DMA=arcsin.

(3)存在滿足條件的直平行六面體.

棱臺(tái)DEF－ABC的棱長(zhǎng)和為定值6，體積為V.

設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為α，則該六面體棱長(zhǎng)和為12×=6,體積為sinα=V.

∵正四面體P－ABC的體積是，∴0＜V＜,0＜8V＜1.

可知α=arcsin(8V).

故構(gòu)造棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為arcsin(8V)的直平行六面體，即滿足要求.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱BB1與底面成60．角，AQ⊥底面A1B1C1于Q，AP⊥側(cè)面BCC1B1于P，且A1Q⊥B1C1，AB=AC，AQ=3，AP=2則頂點(diǎn)A到棱B1C1的距離是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖所示的幾何體是由一個(gè)正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有
12
種．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，在棱DE上存在點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

21.如圖，P－ABC是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱PA、PB、PC上的點(diǎn)，截面DEF∥底面ABC，且棱臺(tái)DEF－ABC與棱錐P－ABC的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)

(1)證明：P－ABC為正四面體；

(2)若PD=PA，求二面角D－BC－A的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(3)設(shè)棱臺(tái)DEF—ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的平行六面體，使得它與棱臺(tái)DEF－ABC有相同的棱長(zhǎng)和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案