Question

如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱BB₁與底面成60．角，AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥側(cè)面BCC₁B₁于P，且A₁Q⊥B₁C₁，AB=AC，AQ=3，AP=2則頂點(diǎn)A到棱B₁C₁的距離是

 

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Answer 1

分析：取B₁C₁的中點(diǎn)D，連接A₁D，PD，先證A、P、D、Q四點(diǎn)共圓，根據(jù)余弦定理求出PQ，再根據(jù)正弦定理求出直徑AD，最后證明AD為頂點(diǎn)A到棱B₁C₁的距離，即可得到結(jié)論．

解答：解：取B₁C₁的中點(diǎn)D，連接A₁D，PD
∵側(cè)棱BB₁與底面成60°，A₁A∥BB₁
∴∠AA₁D=60°
而AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥側(cè)面BCC₁B₁于P
∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60°
∴A、P、D、Q四點(diǎn)共圓
則AD為圓的直徑
根據(jù)余弦定理可知PQ=

7

再根據(jù)正弦定理可知2R=

7

3 2

=

2 21

3

∵B₁C₁⊥面AQD，AD?面AQD
∴B₁C₁⊥AD
則AD為頂點(diǎn)A到棱B₁C₁的距離
∴頂點(diǎn)A到棱B₁C₁的距離為

2 21

3

故答案為：

2 21

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到線的距離，以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了推理論證的能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．