【題目】設函數(shù),是函數(shù)的導數(shù).
(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;
(2)在上恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導數(shù)可知,
函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點;
(2)由題意可將轉化為,構造函數(shù),
利用導數(shù)討論研究其在上的單調性,由,即可求出的取值范圍.
(1)若,則,,
設,則,,
,故函數(shù)是奇函數(shù).
當時,,,這時,
又函數(shù)是奇函數(shù),所以當時,.
綜上,當時,函數(shù)單調遞增;當時,函數(shù)單調遞減.
又,,
故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點.
(2),由,所以恒成立,
若,則,設,
.
故當時,,又,所以當時,,滿足題意;
當時,有,與條件矛盾,舍去;
當時,令,則,
又,故在區(qū)間上有無窮多個零點,
設最小的零點為,
則當時,,因此在上單調遞增.
,所以.
于是,當時,,得,與條件矛盾.
故的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓,動圓與圓外切并與圓內切,圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)若直線與曲線交于兩點,問是否在軸上存在一點,使得當變動時總有?若存在,請說明理由.
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【題目】已知點是拋物線上一點,點為拋物線的焦點,.
(1)求直線的方程;
(2)若直線與拋物線的另一個交點為,曲線在點與點處的切線分別為,直線相交于點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某縣為了幫助農戶脫貧致富,鼓勵農戶利用荒地山坡種植果樹,某農戶考察了三種不同的果樹苗、、.經(jīng)過引種實驗發(fā)現(xiàn),引種樹苗的自然成活率為,引種樹苗、的自然成活率均為.
(1)任取樹苗、、各一棵,估計自然成活的棵數(shù)為,求的分布列及其數(shù)學期望;
(2)將(1)中的數(shù)學期望取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗,引種后沒有自然成活的樹苗有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術處理,處理后成活的概率為,其余的樹苗不能成活.
①求一棵種樹苗最終成活的概率;
②若每棵樹苗引種最終成活可獲利元,不成活的每棵虧損元,該農戶為了獲利期望不低于萬元,問至少要引種種樹苗多少棵?
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【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中, 平面, ,點分別為的中點,設直線與平面交于點.
(1)已知平面平面,求證: .
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】隨著時代的發(fā)展和社會的進步,“農村淘寶”發(fā)展十分迅速,促進“農產品進城”和“消費品下鄉(xiāng)”,“農產品進城”很好地解決了農產品與市場的對接問題,使農民收入逐步提高,生活水平得到改善,農村從事網(wǎng)店經(jīng)營的人收入逐步提高.西鳳臍橙是四川省南充市的特產,因果實呈橢圓形、色澤橙紅、果面光滑、無核、果肉脆嫩化渣、汁多味濃,深受人們的喜愛.為此小王開網(wǎng)店銷售西鳳臍橙,每月月初購進西鳳臍橙,每售出1噸西鳳臍橙獲利潤800元,未售出的西鳳臍橙,每1噸虧損500元.經(jīng)市場調研,根據(jù)以往的銷售統(tǒng)計,得到一個月內西鳳臍橙市場的需求量的頻率分布直方圖如圖所示.小王為下一個月購進了100噸西鳳臍橙,以x(單位:噸)表示下一個月內市場的需求量,y(單位:元)表示下一個月內經(jīng)銷西鳳臍橙的銷售利潤.
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計小王的網(wǎng)店下一個月銷售利潤y不少于67000元的概率;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求直線與曲線公共點的極坐標;
(2)設過點的直線交曲線于,兩點,且的中點為,求直線的斜率.
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