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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為
2
5
5
，該橢圓的離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點P(0，
5
3
)的直線l與橢圓交于兩個不同的點M，N，求線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．
分析：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay-ab=0，利用原點O到直線AB的距離為
2
5
5
，橢圓的離心率為
3
2
，建立方程可求a、b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0；當直線斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx+
5
3
，代入
x2
4
+y2=1，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0，進而可求線段MN的垂直平分線方程，由此即可求得線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay-ab=0
∵原點O到直線AB的距離為
2
5
5
，∴
|ab|
a2+b2
=
2
5
5
①
∵橢圓的離心率為
3
2
，∴
a2-b2
a2
=
3
4
②
由①②可得：a=2，b=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0
當直線斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx+
5
3
，代入
x2
4
+y2=1，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0
∵△=14400k2-256（9+36k2）＞0，∴k2＞
4
9

設M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為Q（x0，y0）
∴x0=
x1+x2
2
=
-20k
3+12k2
，y0=kx0+
5
3
=
5
3+12k2

∴Q(
-20k
3+12k2
， 
5
3+12k2
)
∴線段MN的垂直平分線方程為y-
5
3+12k2
=-
1
k
(x+
20k
3+12k2
)
令x=0，則y=
-15k
3+12k2
，
由k2＞
4
9
，可得-
9
5
＜y＜0
∴線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍為(-
9
5
，0]．
點評：本題綜合考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是確定線段MN的垂直平分線．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設 A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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