【題目】已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意都有.

1)求證:函數(shù)是奇函數(shù);

2)如果當(dāng)時(shí),有,試判斷上的單調(diào)性,并用定義證明你的判斷;

(3)在(2)的條件下,若對(duì)滿(mǎn)足不等式的任意恒成立,求的取值范圍.

【答案】1)證明見(jiàn)解析(2)函數(shù)上為增函數(shù),證明見(jiàn)解析(3

【解析】

1)先分析定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再賦值求,令即可求證(2)先判斷上為增函數(shù),再根據(jù)定義證明在上是奇函數(shù),根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)知上為增函數(shù)(3)根據(jù)(2)可得不等式的解,在此范圍恒成立,分離參數(shù)即可求解.

1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),令,可得

所以,令,則,即,所以函數(shù)為奇函數(shù).

2)函數(shù)上為增函數(shù).

證明如下:

設(shè),則

,

因?yàn)?/span>時(shí),有

所以,

,

所以函數(shù)上是增函數(shù),

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)上是增函數(shù),

上為增函數(shù).

3)因?yàn)?/span>,

所以,

因?yàn)?/span>上為增函數(shù),

所以,解得.

即當(dāng)時(shí),恒成立,

所以上恒成立,

,

所以只需,

的取值范圍為.

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性別

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需要

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30

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