Question

（2013•湖北）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）^r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

；
（Ⅲ）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]=2，[π]=4，[-

3

2

]=-1．令S=

3	81

+

3	82

+

3	83

+…+

3	125

，求[S]的值．
（參考數(shù)據(jù)：80

4

3

≈344.7，81

4

3

≈350.5，124

4

3

≈618.3，126

4

3

≈631.7)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值為f（0）=0；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知，即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，令x=

1

n

代入并化簡得nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，再令x=-

1

n

得，nr＞

nr+1-(n-1)r+1

r+1

，即結(jié)論得到證明；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，令r=

1

3

，n分別取值81，82，83，…，125，分別列出不等式，再將各式相加得，

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)＜S＜

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)，再由參考數(shù)據(jù)和條件進(jìn)行求解．

解答：解；（Ⅰ）由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r-（r+1）=（r+1）[（1+x）^r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
當(dāng)-1＜x＜0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)x∈（-1，+∞）時，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立，
故當(dāng)x＞-1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=

1

n

（這時x＞-1且x≠0），得(1+

1

n

)r+1＞1+

r+1

n

．
上式兩邊同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，②
當(dāng)n＞1時，在①中令x=-

1

n

（這時x＞-1且x≠0），
類似可得nr＞

nr+1-(n-1)r+1

r+1

，③
且當(dāng)n=1時，③也成立．
綜合②，③得

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，④
（Ⅲ）在④中，令r=

1

3

，n分別取值81，82，83，…，125，
得

3

4

(81

4

3

-80

4

3

)＜

3	81

＜

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)，

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)＜

3	82

＜

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)，

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)＜

3	83

＜

3

4

(84

4

3

-83

4

3

)，…

3

4

(125

4

3

-124

4

3

)＜

3	125

＜

3

4

(126

4

3

-125

4

3

)，
將以上各式相加，并整理得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)＜S＜

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)．
代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)≈210.2，

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)≈210.9
由[S]的定義，得[S]=211．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求最值，以及學(xué)生的創(chuàng)新精神，是否會觀察，會抽象概括，會用類比的方法得出其它結(jié)論，難度較大，注意利用上一問的結(jié)論．