Question

已知：α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在l上的射影為B₁，已知AB=2，AA1=1，BB1=

2

，
求：二面角A₁-AB-B₁的大小的正弦值．

Answer 1

分析：因為BB₁⊥α，利用線面垂直的判定定理可以得到平面ABB₁⊥α，再利用三垂線定理根據(jù)二面角的定義求出二面角的平面角的平面角，在放到三角形中解出即可．

解答：解：∵BB₁⊥α，∴平面ABB₁⊥α．
在平面α內(nèi)過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，
∴AB₁=B₁B=

2

．
∴Rt△AA₁B中，A₁B=

AB2-A A 2 1

=

4-1

=

3

．
由AA₁•A₁B=A₁F•AB得A₁F=

AA1•A1B

AB

=

1× 3

2

=

3

2

，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE=

A1E

A1F

=

6

3

，
∴二面角A₁-AB-B₁的正弦值為

6

3

．

點評：本題主要考查了二面角的平面角 的有關(guān)知識，找出二面角的平面角是解題的難點和關(guān)鍵，一般利用三垂線定理找到二面角的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角即可．