【題目】如圖,三棱柱中,底面為正三角形, 底面, 的中點(diǎn).

(1)求證: 平面;

(2)求證:平面平面;

3)在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得三棱錐的體積是?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)

【解析】試題分析:1連接于點(diǎn),連,由三角形中位線的性質(zhì)得,再根據(jù)線面平行的判定可得結(jié)論。(2)先證平面,再由面面垂直的判定定理可得平面平面。(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,不妨設(shè),由可得,從而可得點(diǎn)確實(shí)存在,且。

試題解析

1如圖,連接于點(diǎn),連。

由題意知,在三棱柱中,平面,

∴四邊形為矩形,

∴點(diǎn)的中點(diǎn).

的中點(diǎn),

.

平面,平面.

平面.

2∵底面為正三角形,的中點(diǎn),

,

平面,平面,

.

,

平面,

平面,

∴平面平面.

3假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使三棱錐的體積是.

設(shè)。

,,

,

,

解得,

.

,

∴ 在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使得三棱錐的體積是,此時(shí).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度(只需要給出結(jié)論),并求出甲組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2中所示的值;

(2)現(xiàn)從兩組數(shù)據(jù)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生里分別隨機(jī)抽取一人接受采訪,求被抽中的甲班學(xué)生成績(jī)高于乙班學(xué)生成績(jī)的概率.

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1解關(guān)于的不等式

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(Ⅱ)直線過(guò)點(diǎn)且與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn), ,若直線的斜率大于0,求的取值范圍;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在直線使得弦的垂直平分線過(guò)點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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