Question

如圖所示，O是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，|AB|＝2c，以點(diǎn)A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。

（1）若圓A外的動(dòng)點(diǎn)P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)；
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB成60°角，當(dāng)c＝2，a＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為E，設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)m交曲線(xiàn)E于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線(xiàn)AB的上方，求點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d的取值范圍。

Answer 1

軌跡方程為：。
（2）

（1）以直線(xiàn)AB為x軸，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（－c，0），B（c，0）
依題意：
∴點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)半軸為a，虛半軸為的雙曲線(xiàn)右支
∴軌跡方程為：。
（2）法一：設(shè)M（，），N（，）
依題意知曲線(xiàn)E的方程為
，l的方程為
設(shè)直線(xiàn)m的方程為
由方程組，消去y得
                   ①
∴
∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于不同的兩點(diǎn)
∴及，從而
由①得
解得且
當(dāng)x＝2時(shí)，直線(xiàn)m垂直于x軸，符合條件，∴
又設(shè)M到l的距離為d，則
∵
∴
設(shè)，
由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù)
∴在單調(diào)遞減
∴的最大值＝
又∵
而M的橫坐標(biāo)，∴
法二：為一條漸近線(xiàn)
①m位于時(shí)，m在無(wú)窮遠(yuǎn)，此時(shí)
②m位于時(shí)，，d較大
由
點(diǎn)M 
∴
故