【題目】如圖,四棱錐中,平面,四邊形是直角梯形,其中,. ,.

1)求異面直線(xiàn)所成角的大小;

2)若平面內(nèi)有一經(jīng)過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn),該曲線(xiàn)上的任一動(dòng)點(diǎn)都滿(mǎn)足所成角的大小恰等于所成角.試判斷曲線(xiàn)的形狀并說(shuō)明理由;

3)在平面內(nèi),設(shè)點(diǎn)是(2)題中的曲線(xiàn)在直角梯形內(nèi)部(包括邊界)的一段曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),其中為曲線(xiàn)的交點(diǎn).為圓心,為半徑的圓分別與梯形的邊、交于兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在曲線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí),試求圓半徑的范圍及的范圍.

【答案】(1);(2)雙曲線(xiàn);(3),.

【解析】

試題分析:(1)借助題設(shè)條件建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求解;(2)在空間坐標(biāo)系中借助題設(shè)建立方程探求;(3)依據(jù)題設(shè)建立函數(shù)關(guān)系,運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)及不等式的性質(zhì)等知識(shí)分析探求.

試題解析:

(1)如圖,以為原點(diǎn),直線(xiàn)軸、直線(xiàn)軸、直線(xiàn)軸,建立空間直角坐標(biāo)系.于是有、,則有,又

則異面直線(xiàn)所成角滿(mǎn)足,

所以,異面直線(xiàn)所成角的大小為.

(2)如圖,以為原點(diǎn),直線(xiàn)軸、直線(xiàn)軸、直線(xiàn)軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn),點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn),

,

,

,

化簡(jiǎn)整理得到,

則曲線(xiàn)是平面內(nèi)的雙曲線(xiàn).

(3)解:在如圖所示的的坐標(biāo)系中,因?yàn)?/span>、、,設(shè).則有,故的方程為

代入雙曲線(xiàn):的方程可得,,其中.

因?yàn)橹本(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn),故.進(jìn)而可得,即.故雙曲線(xiàn)在直角梯形內(nèi)部(包括邊界)的區(qū)域滿(mǎn)足,.又設(shè)為雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),.

所以,

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),.

而要使圓、都有交點(diǎn),則.

故滿(mǎn)足題意的圓的半徑取值范圍是.

因?yàn)?/span>,所以體積為.故問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為研究的面積.又因?yàn)?/span>為直角,所以必為等腰直角三角形.

由前述,設(shè),則,

故其面積,所以.

于是,.

(當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí),體積取得最大值;當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)時(shí),即長(zhǎng)度最小時(shí),體積取得最小值)

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