Question

【題目】如圖，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：CD⊥AM；
（Ⅱ）若AM=BC=2，求直線AM與平面BDM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM． ∵△BCD是等邊三角形，
∴OB⊥CD．
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM平面CMD，
∴OM⊥平面BCD．
又∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB．
∴O，M，A，B四點(diǎn)共面．
∵OB∩OM=O，OB平面OMAB，OM平面OMAB，
∴CD⊥平面OMAB．∵AM平面OMAB，
∴CD⊥AM．
（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足為N，則MN=OB．
∵△BCD是等邊三角形，BC=2，
∴ ，CD=2．
在Rt△ANM中， ．
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，
∴ ．
∴AB=AN+NB=AN+OM=2．
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C，BO，OM為坐標(biāo)軸軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
則M（0，0，1）， ，D（﹣1，0，0）， ．
∴ ， ， ．
設(shè)平面BDM的法向量為 =（x，y，z），
由n ，n ，∴ ，
令y=1，得 = ．
設(shè)直線AM與平面BDM所成角為θ，
則 = = ．
∴直線AM與平面BDM所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM，則可證OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出 和平面BDM的法向量 ，則直線AM與平面BDM所成角的正弦值為|cos＜ ＞|．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．