【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線交橢圓于、兩點,線段的中點為,直線是線段的垂直平分線,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
【答案】(1);(2)直線過定點,詳見解析.
【解析】
(1)由焦點和離心率可得的值,則方程易求.
(2)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合線段的中點,利用根與系數(shù)的關(guān)系(或點差法)可求出直線的斜率,進而可表示出直線的方程,判斷其所過定點.
(1)拋物線的焦點為,則.
橢圓的離心率,則.
故橢圓的標準方程為.
(2)方法一:顯然點在橢圓內(nèi)部,故,且直線的斜率不為.
當直線的斜率存在且不為時,易知,設(shè)直線的方程為,
代入橢圓方程并化簡得.
設(shè),,則,解得.
因為直線是線段的垂直平分線,故直線,即.
令,此時,于是直線過定點.
當直線的斜率不存在時,易知,此時直線,故直線過定點.
綜上所述,直線過定點.
方法二:顯然點在橢圓內(nèi)部,故,且直線的斜率不為.
當直線的斜率存在且不為時,設(shè),,
則有,,
兩式相減得.
由線段的中點為,則,
故直線的斜率.
因為直線是線段的垂直平分線,故直線,即.
令,此時,于是直線過定點.
當直線的斜率不存在時,易知,此時直線,故直線過定點.
綜上所述,直線過定點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張軍自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家干果店,銷售的干果中有松子、開心果、腰果、核桃,價格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克,為增加銷量,張軍對這四種干果進行促銷:一次購買干果的總價達到150元,顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,張軍會得到支付款的80%.
①若顧客一次購買松子和腰果各1千克,需要支付180元,則x=________;
②在促銷活動中,為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓: 經(jīng)過橢圓: 的左右焦點,且與橢圓在第一象限的交點為,且三點共線,直線交橢圓于, 兩點,且().
(1)求橢圓的方程;
(2)當三角形的面積取得最大值時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)小組到進行社會實踐調(diào)查,了解鑫鑫桶裝水經(jīng)營部在為如何定價發(fā)愁。進一步調(diào)研了解到如下信息:該經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進價是5元,銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表:
銷售單價/元 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
日均銷售量/桶 | 480 | 440 | 400 | 360 | 320 | 280 | 240 |
根據(jù)以上信息,你認為該經(jīng)營部定價為多少才能獲得最大利潤?( )
A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊小組有甲、乙、丙三名射手,已知甲擊中目標的概率是,甲、丙二人都沒有擊中目標的概率是,乙、丙二人都擊中目標的概率是.甲乙丙是否擊中目標相互獨立.
(1)求乙、丙二人各自擊中目標的概率;
(2)設(shè)乙、丙二人中擊中目標的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左,右焦點分別為,,點為橢圓上任意一點,點關(guān)于原點的對稱點為點,有,且當的面積最大時為等邊三角形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)與圓相切的直線:交橢圓于,兩點,若橢圓上存在點滿足,求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個粒子從原點出發(fā),在第一象限和兩坐標軸正半軸上運動,在第一秒時它從原點運動到點,接著它按圖所示在軸、軸的垂直方向上來回運動,且每秒移動一個單位長度,那么,在2018秒時,這個粒子所處的位置在點______.
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