Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=

2x

|x|+1

（x∈R）時(shí)，給出下列結(jié)論：
①f（-x）+f（x）=0對(duì)任意x∈R成立；
②函數(shù)f（x）的值域是（-2，2）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函數(shù)g（x）=f（x）-2x在R上有三個(gè)零點(diǎn)．
則正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

A．②③④

B．①③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

分析：分析函數(shù)的奇偶性，可判斷①；利用分類討論和分離常數(shù)法，求出函數(shù)的值域，可判斷②；判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③；求出函數(shù)g（x）=f（x）-2x在R上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷④．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

2x

|x|+1

（x∈R）
∴f（-x）=

-2x

|-x|+1

=-

2x

|x|+1

，故f（-x）+f（x）=0恒成立，故①正確；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

2x

x+1

=2+

-2

x+1

∈[0，2）
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

2x

-x+1

=-2+

2

-x+1

=-2-

2

x-1

∈（-2，0）
故函數(shù)f（x）的值域是（-2，2），故②正確；
函數(shù)f（x）=

2x

|x|+1

在定義域上為增函數(shù)，故x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確；
函數(shù)g（x）=f（x）-2x=

2x

|x|+1

-2x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=0，
故函數(shù)g（x）=f（x）-2x在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤
故函數(shù)g（x）=f（x）-2x在R上有三個(gè)零點(diǎn)①②③
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，值域，單調(diào)性，零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．