【題目】已知直線為橢圓的右準線,直線與軸的交點記為,過右焦點的直線與橢圓交于,兩點.
(1)設點在直線上,且滿足,若直線與線段交于點,求證:點為線段的中點;
(2)設點的坐標為,直線與直線交于點,試問是否為定值,若是,求出這個定值,若不是,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析; (2)為定值0.
【解析】
(1)設直線的方程為,直線的方程為, 故直線的方程為.再聯(lián)立橢圓方程和直線,根據(jù)韋達定理求出線段的中點為,滿足直線方程,所以,直線與線段交點為線段的中點.
(2)當直線的斜率為0時, . 直線的斜率不為0時,計算直線的方程,求得點的坐標為,縱坐標與點相等,即,.
(1)由橢圓方程為知,右焦點坐標,橢圓的右準線方程為,點坐標.
①當直線的斜率不存在時,直線與線段交點即為右焦點,此時點為線段的中點.
②又由知,直線的斜率不為0,故設直線的方程為,
從而,直線的方程為,令得,點坐標為,
故直線的方程為.
聯(lián)立方程組,消去得:,
設,,則,
即,,
從而,線段的中點.
又線段的中點的坐標滿足直線方程,
所以,直線與線段交點為線段的中點.
綜上可知,點為線段的中點.
(2)當直線的斜率為0時,點即為點,從而,故.
直線的斜率不為0時,
由(1)知,,,
所以,則.
直線的方程為,又,
令,得,
所以點的坐標為,縱坐標與點相等。
即,所以.
綜上可知,為定值0.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】劉徽《九章算術商功》中將底面為長方形,兩個三角面與底面垂直的四棱錐體叫做陽馬.如圖,是一個陽馬的三視圖,則其外接球的體積為( )
A.B.C.D.
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【題目】大數(shù)據(jù)時代對于現(xiàn)代人的數(shù)據(jù)分析能力要求越來越高,數(shù)據(jù)擬合是一種把現(xiàn)有數(shù)據(jù)通過數(shù)學方法來代入某條數(shù)式的表示方式,比如,,2,,n是平面直角坐標系上的一系列點,用函數(shù)來擬合該組數(shù)據(jù),盡可能使得函數(shù)圖象與點列比較接近.其中一種描述接近程度的指標是函數(shù)的擬合誤差,擬合誤差越小越好,定義函數(shù)的擬合誤差為:.已知平面直角坐標系上5個點的坐標數(shù)據(jù)如表:
x | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
y | 12 | 4 | 12 |
若用一次函數(shù)來擬合上述表格中的數(shù)據(jù),求該函數(shù)的擬合誤差的最小值,并求出此時的函數(shù)解析式;
若用二次函數(shù)來擬合題干表格中的數(shù)據(jù),求;
請比較第問中的和第問中的,用哪一個函數(shù)擬合題目中給出的數(shù)據(jù)更好?請至少寫出三條理由
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【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點,點P是以為直徑的圓與C在第一象限內的交點,若線段的中點Q在C的漸近線上,則C的兩條漸近線方程為__________.
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【題目】如圖,在地上有同樣大小的 5 塊積木,一堆 2 個,一堆 3 個,要把積木一塊一塊的全部放到某個盒子里,每次 只能取出其中一堆最上面的一塊,則不同的取法有______種(用數(shù)字作答).
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再向下平移()個單位長度后得到函數(shù)的圖象,且函數(shù)的最大值為2.
(ⅰ)求函數(shù)的解析式; (ⅱ)證明:存在無窮多個互不相同的正整數(shù),使得.
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【題目】雙曲線經(jīng)過點,兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于、.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過原點,為雙曲線上異于、的一點,且直線、的斜率為、,證明:為定值;
(3)若過雙曲線的右焦點,是否存在軸上的點,使得直線繞點無論怎樣轉動,都有成立?若存在,求出的坐標,若不存在,請說明理由.
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