Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．

 

Answer 1

（1）30海里/時(shí)（2）航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．

【解析】(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S＝

.

故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10海里，此時(shí)v＝＝30海里/時(shí)．

即小艇以30海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最�。�

(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，

則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－.

∵0＜v≤30，

∴900－≤900，即≤0，解得t≥.

又t＝時(shí)，v＝30海里/時(shí)．故v＝30海里/時(shí)時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.

此時(shí)，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．