Question

（2012•樂(lè)山二模）已知函數(shù)f（x）=

x+b，  (x≤1) x2+ax-3 x-1   (x＞1)

在x=1處連續(xù)，則

lim

n→∞

3bn+an

bn-an

=

3

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，得到函數(shù)f（x）的右極限和左極限相等，從而確定a，b的數(shù)值，然后利用極限公式求極限．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處連續(xù)，所以

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1-

f(x)．
設(shè)x²+ax-3=（x-1）（x+m），即x²+ax-3=（x-1）（x+m）=x²+（m-1）x-m．
所以

-m=-3 a=m-1

，即

m=3 a=2

，所以x²+2x-3=（x-1）（x+3）．
即

lim

x→1+

x2+2x-3

x-1

=

lim

x→1+

(x-1)(x+3)

x-1

=

lim

x→1+

(x+3)=4．

lim

x→1-

(x+b)=1+b=4，解得b=3．
所以

lim?

n→∞

3bn+an

bn-an

=

lim?

n→∞

3?3n+2n

3n-2n

=

lim?

n→∞

3+( 2 3 )n

1-( 2 3 )n

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是求數(shù)列的極限，利用函數(shù)在x=1處連續(xù)，先確定a，b是解決本題的關(guān)鍵．