在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為,構(gòu)成一個(gè)三棱錐．

（1）請(qǐng)判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；

（2）證明平面；

（3）求二面角的余弦值．

 

【答案】

（1）平行；（2）證明和即可；（3）

【解析】

試題分析：本題考查空間想象能力，在折疊過(guò)程中，找到不變的量是求解的關(guān)鍵.（1）由中位線定理，可證明平行；（2）證明和即可；（3）注意到三角形MEF、BEF都是等腰三角形，因此，取EF的中點(diǎn)即可求出二面角.

試題解析：（1）平行平面

證明：由題意可知點(diǎn)在折疊前后都分別是的中點(diǎn)（折疊后兩點(diǎn)重合）

所以平行,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923171336914205/SYS201310292318481043601913_DA.files/image010.png">，所以平行平面.

（2）證明：由題意可知的關(guān)系在折疊前后都沒(méi)有改變.

因?yàn)樵谡郫B前，由于折疊后，點(diǎn)，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923171336914205/SYS201310292318481043601913_DA.files/image014.png">，所以平面.

（3）解：

所以是二面角的平面角.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923171336914205/SYS201310292318481043601913_DA.files/image021.png">⊥，所以.

在中， ，由于，所以，

于是.

所以，二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：1、線面平行；2、線面垂直的判定；3、二面角的概念及其求法.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖所示)．

（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出、點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且,問(wèn)是否存在點(diǎn)使得,若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

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在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．

（1）判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（2）證明AB⊥平面BEF；

（3）求多面體E-AFNM的體積．

 

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（本小題滿分12分）

在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合于B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐(如圖所示)．

   

（Ⅰ）在三棱錐上標(biāo)注出、點(diǎn)，并判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點(diǎn)，且, 問(wèn)是否存在點(diǎn)使得,若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

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在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．

（I）判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；

（II）求多面體E-AFMN的體積．

                 

【解析】第一問(wèn)因翻折后B、C、D重合（如下圖），所以MN應(yīng)是的一條中位線，則利用線線平行得到線面平行。

第二問(wèn)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091227575151928240_ST.files/image005.png">平面BEF，……………8分

且，

∴，又　∴

（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），

所以MN應(yīng)是的一條中位線，………………3分

則．………6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091227575151928240_ST.files/image005.png">平面BEF，……………8分

且，

∴，………………………………………10分

又　∴

 

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