Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線將分成兩部分，記左側(cè)部分的多邊形為.設(shè)各邊長的平方和為，各邊長的倒數(shù)和為.

（Ⅰ） 分別求函數(shù)和的解析式；

（Ⅱ）是否存在區(qū)間，使得函數(shù)和在該區(qū)間上均單調(diào)遞減？若存在，求 的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，

（Ⅱ）存在，的最大值為.

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，多邊形是三角形，三邊長分別為，，，

當(dāng)時(shí)，多邊形是四邊形，各邊長為，，，，

由此分別求出和的解析式即可.

（Ⅱ）由的解析式可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，再通過定義法說明在區(qū)間上單調(diào)遞減，故存在，由此可求的最大值.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，多邊形是三角形（如圖①），三邊長分別為，，，

此時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，多邊形是四邊形（如圖②），各邊長為，，，，

此時(shí)，

，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，

另一方面，任取，且，

則，

，

，，，

，

即，

，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)和在上均單調(diào)遞減

，

存在區(qū)間，使得函數(shù)和在該區(qū)間上均單調(diào)遞減，且的最大值為.