Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

(II)設(shè)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，并記作，若，求正數(shù)的取值范圍；

(III)求證：當(dāng)=1時(shí)， （其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）正數(shù)的取值范圍是．（3）見解析

【解析】試題分析:（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上符號(hào)變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)， ，即在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，符號(hào)先負(fù)后正，對(duì)應(yīng)區(qū)間先減后增，（2）由題意易得要使函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，必有，且極值點(diǎn)必為， ，因此，即正數(shù)的取值范圍是．再化簡(jiǎn)條件，得，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性：為單調(diào)減，因此正數(shù)的取值范圍是．（3）要證不等式，即證，利用導(dǎo)數(shù)易得函數(shù)最小值為1，而,得證.

試題解析：（Ⅰ） ，（ ）

當(dāng)時(shí)， ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，由，得，解得（負(fù)值舍去），，所以

當(dāng)時(shí)， ，從而，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ，從而，函數(shù)在上是增函數(shù)．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；

要使函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，必有，且極值點(diǎn)必為， ，又由函數(shù)定義域知， ，則有，即

，化為，所以，

所以，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，正數(shù)的取值范圍是．

由（）式可知，

不等式化為，

令，所以，

令， ．

當(dāng)時(shí)， ， ，所以，不合題意；

當(dāng)時(shí)， ， ，所以

在是減函數(shù)，所以，適合題意，即．

綜上，若，此時(shí)正數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)， ，

不等式可化為，所以

要證不等式，即證，即證，

設(shè)，則，

在上，h'（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；

在上，h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．

所以，

設(shè)，則是減函數(shù)，

所以，

所以，即，

所以當(dāng)時(shí)，不等式成立．