【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點(diǎn), , 是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當(dāng), 運(yùn)動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析: (1)由橢圓的離心率及短軸端點(diǎn)坐標(biāo)求出 ,得到橢圓方程; (2)①設(shè) 設(shè)直線AB方程為 ,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去 ,得到一個關(guān)于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面積公式,求出最大值; ②由 得到直線斜率之和為0,設(shè)直線 斜率為 ,則直線斜率為,直線 方程為,代入橢圓方程中,求出 的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,再求出 的值,代入直線的斜率計(jì)算公式中,結(jié)果為定值.
試題解析:(1) ∴
∴ 又
∴ ∴ 橢圓方程為
(2)①設(shè) ,
設(shè)方程 代入化簡
,
又、
當(dāng)時, 最大為
②當(dāng)時, 、斜率之和為.
設(shè)斜率為,則斜率為
設(shè)方程
代入化簡
同理
,
∴
直線的斜率為定值
點(diǎn)睛:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì),直線與橢圓相交問題,一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,斜率的計(jì)算公式,考查了推理與計(jì)算能力, 屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時, ;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,函數(shù)有最小值,設(shè)最小值為,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測,每件一等品都能通過檢測,每件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有件產(chǎn)品,其中件是一等品, 件是二等品.
(Ⅰ)隨機(jī)選取件產(chǎn)品,設(shè)至少有一件通過檢測為事件,求事件的概率;
(Ⅱ)隨機(jī)選取件產(chǎn)品,其中一等品的件數(shù)記為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,曲線過點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線方程為.
1)求, 的值;
2)證明:當(dāng)時, ;
3)若當(dāng)時, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血,在體檢合格的人中, 型血的共有28人, 型血的共有7人, 型血的共有9人, 型血的有3人.
(1)從中任選1人去獻(xiàn)血,有多少種不同的選法?
(2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血,有多少種不同的選法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年來,我國許多地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)干旱現(xiàn)象,為抗旱經(jīng)常要進(jìn)行人工降雨,現(xiàn)由天氣預(yù)報(bào)得知,某地在未來5天的指定時間的降雨概率是:前3天均為,后2天均為,5天內(nèi)任何一天的該指定時間沒有降雨,則在當(dāng)天實(shí)行人工降雨,否則,當(dāng)天不實(shí)施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率;
(2)求不需要人工降雨的天數(shù)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(cosωx,sinωx), =(cosωx, cosωx),其中ω>0,設(shè)函數(shù)f(x)= .
(1)若函數(shù)f(x)的最小正周期是π,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心的橫坐標(biāo)為 ,求ω的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若, 恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), ().
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.
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