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已知函數f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）的單調性．
分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求得b=0，又f（
1
2
）=
2
5
，可求得，從而可求得函數f（x）的解析式；
（2）在（-1，1）上任取兩個值x1，x2，且x1＜x2．再作差f（x2）-f（x1）化積，判斷乘積的符號即可．
解答：解：（1）由f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
∴
-ax+b
1+x2
=-
ax+b
1+x2
，即
2b
1+x2
=0，
∴b=0，
又f(
1
2
)=
2
5
，代入函數得a=1．
∴f(x)=
x
1+x2
．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函數．
證明：在（-1，1）上任取兩個值x1，x2，且x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
x1
1+
x
2
1
-
x2
1+
x
2
2
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)

∵-1＜x1＜x2＜1，
∴-1＜x1x2＜1；
∴1-x1x2＞0，又x1-x2＜0，1+
x
2
1
＞0，1+
x
2
2
＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數．
點評：本題考查函數奇偶性的性質，著重考查奇偶函數的定義及其單調性的定義及應用，考查學生的規(guī)范意識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（3）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數f（x）的大致圖象；
（2）求函數f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數q（t）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調性的情況，并證明你的結論．

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