【題目】
已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{an2}的前n項和為Tn,且3Tn=Sn2+2Sn,n∈N*.
(Ⅰ)求a1的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)若k,t∈N*,且S1,Sk-S1,St-Sk成等比數(shù)列,求k和t的值.
【答案】(1)1(2)an=2n-1,n∈N*(3) k=2,t=3
【解析】試題分析:(1)由,得,解方程即可得結(jié)果;(2)因為,兩式相減可得再得,再相減可得是等差數(shù)列,從而可得結(jié)果;(3)由(2)可知,根據(jù)成等比數(shù)列可得,只需證明以上等式無整數(shù)解即可.
試題解析:(1)由3T1=S12+2S1,得3a12=a12+2a1,即a12-a1=0.
因為a1>0,所以a1=1.
(2)因為3Tn=Sn2+2Sn, ①
所以3Tn+1=Sn+12+2Sn+1,②
②-①,得3an+12=Sn+12-Sn2+2an+1.
因為an+1>0,
所以3an+1=Sn+1+Sn+2, ③
所以3an+2=Sn+2+Sn+1+2,④
④-③,得3an+2-3an+1=an+2+an+1,即an+2=2an+1,
所以當(dāng)n≥2時,=2.
又由3T2=S22+2S2,得3(1+a22)=(1+a2)2+2(1+a2),
即a22-2a2=0.
因為a2>0,所以a2=2,所以=2,所以對n∈N*,都有=2成立,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1,n∈N*.
(3)由(2)可知Sn=2n-1.
因為S1,Sk-S1,St-Sk成等比數(shù)列,
所以(Sk-S1)2=S1(St-Sk),即(2k-2)2=2t-2k,
所以2t=(2k)2-32k+4,即2t-2=(2k-1)2-32k-2+1(*).
由于Sk-S1≠0,所以k≠1,即k≥2.
當(dāng)k=2時,2t=8,得t=3.
當(dāng)k≥3時,由(*),得(2k-1)2-32k-2+1為奇數(shù),
所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k-2-32k-2=0,即2k=3,此時k無正整數(shù)解.
綜上,k=2,t=3.
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【題目】(本小題滿分12分)
某學(xué)校用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué),對其日均課外閱讀時間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果如下:
t | ||||||
男同學(xué)人數(shù) | 7 | 11 | 15 | 12 | 2 | 1 |
女同學(xué)人數(shù) | 8 | 9 | 17 | 13 | 3 | 2 |
若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”.
(1)將頻率視為概率,估計該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有多少人?
(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加讀書日宣傳活動.
(i)求抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率;
(ii)記抽取的“讀書迷”中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望
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【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為A1B1 , CD的中點.
(1)求| |
(2)求直線EC與AF所成角的余弦值;
(3)求二面角E﹣AF﹣B的余弦值.
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【題目】如圖,設(shè)橢圓: 的離心率為, 分別為橢圓的左、右頂點, 為右焦點,直線與的交點到軸的距離為,過點作軸的垂線, 為上異于點的一點,以為直徑作圓.
(1)求的方程;
(2)若直線與的另一個交點為,證明:直線與圓相切.
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【題目】某產(chǎn)品關(guān)稅與市場供應(yīng)量P的關(guān)系近似地滿足:P(x)=2 (其中t為關(guān)稅的稅率,且t∈[0, ],x為市場價格,b,k為正常數(shù)),當(dāng)t= 時,市場供應(yīng)量曲線如圖所示:
(1)根據(jù)函數(shù)圖象求k,b的值;
(2)若市場需求量Q,它近似滿足Q(x)=2 .當(dāng)P=Q時的市場價格為均衡價格,為使均衡價格控制在不低于9元的范圍內(nèi),求稅率t的最小值.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)在[2a,4a]上的最小值;
(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn):總存在正實數(shù)a、b(a<b),使ab=ba , 試問:他的判斷是否正確?若不正確,請說明理由;若正確,請直接寫出a的取值范圍(不需要解答過程).
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點,求證:
(Ⅰ)平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)A1C//平面AB1E.
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【題目】(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x+cos x).
(1)求f的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】 某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式(為大于的常數(shù)),現(xiàn)隨機(jī)抽取件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
尺寸 | ||||||
質(zhì)量 |
對數(shù)據(jù)作了初步處理,相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表:
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)按照某項指標(biāo)測定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品,現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件,記為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
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