精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)證明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在線段AP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角A-MC-β為直二面角?若存在,求出AM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:以O(shè)為原點(diǎn),以AD方向?yàn)閅軸正方向,以射線OP的方向?yàn)閆軸正方向,建立空間坐標(biāo)系,我們易求出幾何體中各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(I)我們易求出
AP
,
BC
的坐標(biāo),要證明AP⊥BC,即證明
AP
BC
=0;
(II)要求滿足條件使得二面角A-MC-β為直二面角的點(diǎn)M,即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直,由此求出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)空間兩點(diǎn)之間的距離公式,即可求出AM的長(zhǎng).
解答:精英家教網(wǎng)解:以O(shè)為原點(diǎn),以AD方向?yàn)閅軸正方向,以射線OP的方向?yàn)閆軸正方向,建立空間坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4)
(I)則
AP
=(0,3,4),
BC
=(-8,0,0)
由此可得
AP
BC
=0
AP
BC

即AP⊥BC
(II)設(shè)
PM
PA
,λ≠1,則
PM
=λ(0,-3,-4)
BM
=
BP
+
PM
=
BP
PA
=(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)
AC
=(-4,5,0),
BC
=(-8,0,0)
設(shè)平面BMC的法向量
a
=(a,b,c)
BM
a
=0
BC
a
=0

-4a-(2+3λ)b+(4-4λ)c=0
-8a=0

令b=1,則
a
=(0,1,
2+3λ
4-4λ

平面APC的法向量
b
=(x,y,z)
AP
b
=0
AC
b
=0

3y+4z=0
-4x+5y=0

令x=5
b
=(5,4,-3)
a
b
=0
得4-3
2+3λ
4-4λ
=0
解得λ=
2
5

故AM=3
綜上所述,存在點(diǎn)M符合題意,此時(shí)AM=3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線線垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,其中建立空間坐標(biāo)系,求出相關(guān)向量,然后將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直即向量?jī)?nèi)積等0是解答本題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=(
1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為( 。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE‖平面PBC;
(Ⅱ)求證:AB⊥PE;
(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA=PB=PC,∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°,一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
,則PA=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

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