精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°,AP=AC,點(diǎn)D,E分別在棱
PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.
分析:(I)欲證DE⊥平面PAC,觀察本題的條件,BC⊥平面PAC易證,而BC∥平面ADE結(jié)合DE=平面PBC∩平面ADE,可證得BC∥ED,由此證法思路已明.
(Ⅱ)由(I),結(jié)合二面角A-DE-P為直二面角,可證得AE⊥面PBC,即得AE⊥PC,再由,∠BCA=90°,AP=AC可得出E是中點(diǎn),由于求多面體ABCED與PAED的體積比可以轉(zhuǎn)化為求面BCED與面PAED的比,問題得解.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)∵BC∥平面ADE,BC?平面PBC,
平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED(2分)
∵PA⊥底面ABC,BC?底面ABC∴PA⊥BC.(3分)
又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.
∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(5分)
∴DE⊥平面PAC.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,DE⊥平面PAC,
又∵AE?平面PAC,PE?平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角,(8分)
∴∠AEP=90°,即AE⊥PC,(9分)
∵AP=AC,∴E是PC的中點(diǎn),ED是△PBC的中位線.(10分)
VA-BCED
VA-PDE
=
SBCED
SPDE
=
3
1
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用線面垂直的條件證明線面垂直以及求棱錐的體積比,本題中兩個(gè)問題的證明都轉(zhuǎn)化為了另外問題的證明,體現(xiàn)了做題的靈活性.
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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積.若f(M)=(
1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為( 。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分別為AB、AC中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE‖平面PBC;
(Ⅱ)求證:AB⊥PE;
(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大。

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如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA=PB=PC,∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°,一繩子從A點(diǎn)繞三棱錐側(cè)面一圈回到點(diǎn)A的最短距離是
3
,則PA=
1
1

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