【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（3）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.

【答案】（1）（2）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，詳見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可得在和上各有唯一一個(gè)零點(diǎn)，由此可得答案；

（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為，根據(jù)是的一個(gè)零點(diǎn)，可證兩條切線重合.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，，.

所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為.

（2）函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).理由如下：

的定義域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>，

所以在和上均單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

所以在上有唯一零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，，

所以在上有唯一零點(diǎn).

綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（3）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，

則，，，即切點(diǎn)為.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

，即.

因?yàn)?/span>是的一個(gè)零點(diǎn)，所以.

所以.

所以這兩條切線重合.

所以結(jié)論成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點(diǎn)P，滿足？存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

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